círculo o ovalo, donde cabe mas? parte 3.2

En la publicación anterior hemos visto que no podemos comparar longitudes de arcos (circunferencia y elipse) de forma rigurosa ya que la última era una aproximación. Entonces vamos a reformular el problema que nos puede satisfacer. 

Fijaos que esta condición implica que el perímetro de elipse es mayor que la de circunferencia y su area es menor. Es algo incluso más fuerte que la hipótesis de la publicación anterior (aunque no implica rigurosamente la condición inicial si lo pensamos bien)

¿Cómo lo vamos a demostrar? Vamos a hacerlo gráficamente. Cuando digo "gráficamente" no me refiero a un dibujo bastante convincente. Quiero decir que vamos a hacer demostración lógica pero traducida a expresión gráfica. Una construcción que puede ser explicada 100% analíticamente. 

dem:

Sea circunferencia C con radio r, perímetro 2PIr, área PIr^2

Sea elipse E de ejes a,b, area PIab

Sea cota inferior del perímetro de la elipse k construido con vértices del polígono inscrito como se muestra en la gráfica:

n = 3

Por simetría podemos trabajar sobre cuarta parte de la figura. En este caso dividimos 90 grados en n = 3 (es decir 30 grados). La poligonal que se forma, por construcción es de longitud menor que el arco de elipse. Podemos dividir en más segmentos:

n = 5

Observamos que k como aproximación al P(E) cumple que k < P(E) siempre. 

n = 9

Vamos a expresar esta longitud en función de particiones n

Para los ángulos. 

Ahora obtenemos puntos correspondientes en el arco de elipse. 

Y para ello vamos a tener que elegir entre 2 opciones para trabajar. En coordenadas polares o cartesianas. Supongo que de forma intuitiva uno quiere usar coordenadas polares ya que hemos segmentado la elipse en ángulos. Pero vamos a intentar hacer de otra manera. Buscamos puntos en el arco como la intersección de rectas correspondientes.

 

Es la solución en x, y la de y se busca sustituyendo como siempre en una ecuación de 2 incógnitas. Expresamos solución como un punto. 

Ahora podemos dar coordenadas de cada punto para nuestro elipse solo dando valores al ángulo a_i

Ahora expresar longitud de la poligonal es muy fácil:

Esta aproximación varia en función del conjunto de ángulos que escogemos. Ahora podemos volver a nuestro problema. 

Podemos reescribir nuestra hipótesis de forma equivalente:

Se trata de resolver estas ecuaciones entonces. Ya no imponemos que cota K sea inferior al arco de elipse ya que esto se da por construcción. 

Podemos exigir un poco más e imponer igualdad en primera condición. Esto quiere decir que buscamos elipse de mismo area que la circunferencia pero con más perímetro. 

Tenemos una inecuación con 3 incógnitas: n, a, b donde n natural, a,b reales. Tampoco tenemos que resolverla pero al menos comprobar si tiene solución o no. Una inecuación y 3 incógnitas ¿siempre tiene solución? Si fuera una ecuación lineal sí, Pero no es el caso. Visto esto lo vamos a dejar ya porque a nadie le gusta resolver algo así de complejo no? Pero no nos rendimos. Vamos a verlo de otra manera.