CHAT-GPT resuelve ejercicios de selectividad (modelo 2025) ejercicio 1.1

 Vamos a resolver el ejercicio 1.1 del modelo de examen de Matemáticas II para la Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) del curso 2024-2025. Este ejercicio se centra en el análisis de matrices y sus propiedades en función del parámetro λ.

Enunciado:

Sean λ un número real y las matrices:

$A = \begin{pmatrix} λ & 1 & λ \\ 0 & λ & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & λ \\ 0 & -1 \\ 1 & -λ \end{pmatrix}$

Se pide:

a) Estudiar si existe algún valor de λ para el cual la matriz AB no tenga inversa.

b) Estudiar el rango de la matriz BA en función del parámetro λ.

c) Para λ = 1, discutir el sistema $(A^t A) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2a \end{pmatrix}$

según los valores de a.

Solución:

​a) Estudiar si existe algún valor de $\lambda$ para el cual la matriz $AB$ no tenga inversa.

Paso 1: Definimos las matrices $\mathrm{A, }$$B$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& \lambda \\ 0& \lambda & -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& -1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\mathrm{.}$$

Para que $AB$ no tenga inversa, su determinante debe ser igual a 0. Calculamos $AB$

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Paso 2: Multiplicamos las matrices $A$ y $B$:

El producto $AB$ es:

$$AB=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& \lambda \\ 0& \lambda & -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& -1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\mathrm{.}$$

Realizamos la multiplicación fila por columna:

$$A{B}_{11}=(\lambda \cdot 1)+(1\cdot 0)+(\lambda \cdot 1)=\lambda +\lambda =2\lambda ,$$$$A{B}_{12}=(\lambda \cdot \lambda )+(1\cdot -1)+(\lambda \cdot -\lambda )={\lambda }^2-1-{\lambda }^2=-1,$$$$A{B}_{21}=(0\cdot 1)+(\lambda \cdot 0)+(-1\cdot 1)=-1,$$$$A{B}_{22}=(0\cdot \lambda )+(\lambda \cdot -1)+(-1\cdot -\lambda )=-\lambda +\lambda =0.$$

Por lo tanto:

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2\lambda & -1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

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Paso 3: Calculamos el determinante de $AB$:

$$\det(AB) = (2\lambda)(0) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1.$$

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Paso 4: Conclusión:

El determinante de $AB$ es $-1$, que es distinto de 0 para cualquier valor de $\mathrm{\lambda .\; Por\; lo\; tanto,\; la\; matriz }$$AB$ siempre tiene inversa, independientemente del valor de $\mathrm{\lambda .}$

¡Vamos con la parte b) del ejercicio 1.1! 😊

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b) Estudiar el rango de la matriz BA en función del parámetro $\lambda$

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Paso 1: Calculamos $BA$

$$B = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & -1 \end{pmatrix}.$$

Multiplicamos fila por columna para obtener $BA$:

$$BA_{11} = (1 \cdot \lambda) + (\lambda \cdot 0) = \lambda,$$$$BA_{12} = (1 \cdot 1) + (\lambda \cdot \lambda) = 1 + \lambda^2,$$
$$BA_{13} = (1 \cdot \lambda) + (\lambda \cdot -1) = \lambda - \lambda = 0,$$
$$BA_{21} = (0 \cdot \lambda) + (-1 \cdot 0) = 0,$$
$$BA_{22} = (0 \cdot 1) + (-1 \cdot \lambda) = -\lambda,$$
$$BA_{23} = (0 \cdot \lambda) + (-1 \cdot -1) = 1,$$
$$BA_{31} = (1 \cdot \lambda) + (-\lambda \cdot 0) = \lambda,$$
$$BA_{32} = (1 \cdot 1) + (-\lambda \cdot \lambda) = 1 - \lambda^2,$$
$$BA_{33} = (1 \cdot \lambda) + (-\lambda \cdot -1) = \lambda + \lambda = 2\lambda.$$

Por lo tanto:

$$BA = \begin{pmatrix} \lambda & 1 + \lambda^2 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ \lambda & 1 - \lambda^2 & 2\lambda \end{pmatrix}.$$

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Paso 2: Determinamos el rango de $BA$

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes.

Caso 1: $\lambda =0$

Si $\lambda =0$, la matriz $BA$ se convierte en:

$$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

• La primera y la tercera filas son proporcionales ($F_1 = F_3$).
• Solo hay 2 filas independientes.

Por lo tanto, el rango de $BA$ es 2 cuando $\lambda = 0$

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Caso 2: $\lambda \mathrm{\ne }0$

Para $\lambda \neq 0$, verificamos si las tres filas son linealmente independientes. Si alguna fila es combinación lineal de las otras, el rango será menor.

Multiplicamos la primera fila por $-1$ y sumamos a la tercera:

$$F_3^{\mathrm{\prime }}=F_3-F_1=(\lambda -\lambda ,1-{\lambda }^2-(1+{\lambda }^2),2\lambda -0)=(0,-2,2\lambda )\mathrm{.}$$

La matriz transformada es:

$$BA = \begin{pmatrix} \lambda & 1 + \lambda^2 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 2\lambda \end{pmatrix}.$$

Si $\lambda \neq 0$, las filas son linealmente independientes. Por lo tanto, el rango de BA es 3.

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Conclusión:

• Si $\lambda =0$, el rango de $BA$ es 2.
• Si $\lambda \mathrm{\ne }0$, el rango de $BA$ es 3.

¿Pasamos a la parte c)? 😊

Parte c): Para $\lambda =1$, discutir el sistema $(A^T A) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2a \end{pmatrix}$

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Paso 1: Sustituimos $\lambda =1$en $A$

La matriz $A$ es:

$$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & -1 \end{pmatrix}.$$

Sustituyendo $\lambda = 1$, tenemos:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

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Paso 2: Calculamos $A^T A$

La transpuesta de $A$ es:

$$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

El producto $A^T\mathrm{A\; es:}$

$$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Realizamos la multiplicación:

$$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$

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Paso 3: Formamos el sistema

El sistema es:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2a \end{pmatrix}.$$

Esto equivale al sistema lineal:

1)x+y+z=a2,

2)x+2y=a2,

3)x+2z=2a.

Resolvemos este sistema.

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Paso 4: Resolviendo el sistema

De la ecuación (2), despejamos $x$:

$$x=a^2-2y\mathrm{.}$$

Sustituimos en la ecuación (3):

$$(a^2-2y)+2z=2a⟹2z=2a-a^2+2y⟹z=a-\frac{a^2}{2}+y\mathrm{.}$$

Sustituimos $\mathrm{<br>}$ y $z$ en la ecuación (1):

$$(a^2 - 2y) + y + \left(a - \frac{a^2}{2} + y\right) = a^2.$$

Simplificamos:

$$a^2-2y+y+a-\frac{a^2}{2}+y=a^2⟹-\frac{a^2}{2}+a=0.$$

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Paso 5: Condiciones para $a$

De $-\frac{a^2}{2} + a = 0$, factorizamos:

$$a \left(-\frac{a}{2} + 1 \right) = 0.$$

Por lo tanto:

$$a=\mathrm{0 }\text{o }a=2.$$

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Soluciones:

1. Si $a=0$: El sistema tiene solución. Sustituyendo en las ecuaciones, obtenemos $x=0$, $y=\mathrm{0,\; z\; =\; 0}$
   
2. Si $a=\mathrm{2:\; También\; tiene\; solución.\; Sustituyendo,\; se\; obtiene }$$x=0$, $y=1$, $z=1$.

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Conclusión:

• El sistema es compatible y tiene solución para $a=\mathrm{0 }$y $a=2$
• No tiene solución para otros valores de $a$