CHAT-GPT resuelve ejercicios de selectividad (modelo 2025) ejercicio 2.1

 

Resolviendo la Pregunta 2.1:

Dada la función por tramos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11, & \text{si } x < 2, \\ \sqrt{5x - 1}, & \text{si } x \geq 2. \end{cases}$$

(a) Continuidad en $\mathbb{R}$:

Por tramos:

• Para $x < 2$, $f(x) = x^2 - 6x + 11$  un polinomio, que es continuo en su dominio.
• Para $x \geq 2$ $f(x) = \sqrt{5x - 1}$ que es continuo en $x\ge \mathrm{2,\; ya\; que\; la\; raíz\; cuadrada\; está\; definida\; para }$$5x - 1 \geq 0$ es decir, $x \geq 1/5$ En este caso, $x\ge 2$

en x =2:

Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 - 6(2) + 11 = 4 - 12 + 11 = 3.$$

Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \sqrt{5(2) - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3.$$Valor de $f(2)$: Como $x=2$ pertenece al tramo $x\ge 2$: $$f(2)=\sqrt{5(2)-1}=\sqrt{9}=3.$$

Dado que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$, la función es continua en $x = 2$.

Conclusión:

$f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$

b) Extremos relativos en el intervalo $(1, 3)$:

Para encontrar extremos relativos, derivamos $f(x)$:

1. Para $x < 2$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-6.$$

   Igualamos a 0 para encontrar puntos críticos:

   $$2x-6=0⟹x=3.$$

   Sin embargo, $x = 3$ no pertenece al tramo $x < 2$, por lo que no hay extremos relativos en este tramo.

2. Para $x \geq 2$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x-1}}\mathrm{.}$$

   $f'(x) > 0$ para $x \geq 2$, lo que indica que $f(x)$ es creciente en este tramo y no tiene extremos relativos.

Conclusión: $f(x)$ no tiene extremos relativos en el intervalo $(1, 3)$.

(c) Área entre $x = 1$ y $x = 3$:

El área está dada por:

$$\text{Área} = \int_1^2 \left(x^2 - 6x + 11\right) \, dx + \int_2^3 \sqrt{5x - 1} \, dx.$$

1. Primer integral ($x^2 - 6x + 11$):

   $$\int x^2-6x+11dx=\frac{x^3}{3}-3x^2+11x\mathrm{.}$$

   Evaluamos entre 1 y 2:

   $$\left[\frac{2^3}{3} - 3(2^2) + 11(2)\right] - \left[\frac{1^3}{3} - 3(1^2) + 11(1)\right].$$$$= \left[\frac{8}{3} - 12 + 22\right] - \left[\frac{1}{3} - 3 + 11\right] = \left[\frac{50}{3}\right] - \left[\frac{31}{3}\right] = \frac{19}{3}.$$

2. Segunda integral ($\sqrt{5x - 1}$): Hacemos el cambio de variable: $u = 5x - 1 \implies du = 5 \, dx$
   Entonces:

   $$\int \sqrt{5x - 1} \, dx = \frac{2}{15} u^{3/2}.$$
   

   Evaluamos entre $x = 2$ ($u = 9$) y $x = 3$ ($u=\mathrm{14):}$

   $$\frac{2}{15} \left[14^{3/2} - 9^{3/2}\right].$$

   Aproximamos:

   $$14^{3/2} = \sqrt{14}^3 \approx 52.38, \quad 9^{3/2} = \sqrt{9}^3 = 27.$$
   $$\frac{2}{15} (52.38 - 27) \approx \frac{2}{15} (25.38) \approx 3.38.$$

Área total:

$$\text{Área} = \frac{19}{3} + 3.38 \approx 9.7.$$