CHAT-GPT resuelve ejercicios de selectividad (modelo 2025) ejercicio 3.1

 

Ejercicio 3.1

Dado:

• Los puntos $A(0,0,0)\; y$$B(1, 1, 1)$
  
• La recta $r\equiv (x,y,z)=(\lambda ,\lambda ,\lambda +1),\lambda \in \mathbb{R}$

Se pide:

a) Hallar una ecuación del plano respecto al cual $A$ y $B$ son simétricos.

Dos puntos son simétricos respecto a un plano si la proyección ortogonal de cada punto sobre el plano coincide con el otro punto. El plano buscado tiene la forma:
$ax + by + cz + d = 0$
Debe cumplir:

1. $A(0,0,0)\; y$$B(1, 1, 1)$están a la misma distancia del plano.
2. El vector normal al plano $\vec{n} = (a, b, c)$ es paralelo al vector $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$
   

Sustituimos $\vec{n} \propto \overrightarrow{AB}$, por lo que podemos tomar $a = b = c = 1$
El plano queda:$x + y + z + d = 0$

Usamos la condición de simetría:

La proyección ortogonal de $B(1,1,1)$ sobre el plano debe ser $A(0,0,0)$.

Resolviendo, obtenemos:
$d = -\frac{3}{2}$
Por lo tanto, la ecuación del plano es:$x\; +y+z-\frac{3}{2}=0\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$

b) Hallar una ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $B$.

La recta $r$ está definida por el vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ El plano debe contener al punto $B(1, 1, 1)$ y a la dirección de $\vec{v}_r$. Tomemos otro punto de $r$, por ejemplo, para $\lambda = 0$, obtenemos $P(0, 0, 1)$

El plano que contiene estos dos puntos tiene un vector normal que es perpendicular a $\vec{v}_r$ y  $\overrightarrow{BP} = (-1, -1, 0)$. Calculamos el producto vectorial:
$\vec{n} = \vec{v}_r \times \overrightarrow{BP} = (1, 1, 1) \times (-1, -1, 0) = (1, -1, 0).$

Por lo tanto, el plano tiene la forma:
$x-y=k\mathrm{.}$

Sustituimos $B(1, 1, 1)$ para hallar $k$:
$1 - 1 = 0.$

La ecuación del plano es:
$x - y = 0.$

c) Hallar una ecuación de una recta paralela a $r$ y que pase por $A(0, 0, 0)$

Una recta paralela a $r$ tiene la misma dirección $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ y pasa por $A(0, 0, 0)$ La ecuación de la recta es:
$(x, y, z) = (0, 0, 0) + \lambda(1, 1, 1), \, \lambda \in \mathbb{R},$
o, de forma paramétrica:
$x = \lambda, \, y = \lambda, \, z = \lambda.$