círculo o ovalo, donde cabe mas? parte 3.1

 Hemos llegado por fin al asunto principal y vamos a comparar el área de la circunferencia y de elipse con el mismo perímetro (longitud del arco). ¿Cómo lo formulamos? Vamos a intentar ser lo mas rigurosos.

Podemos fijar una circunferencia con radio r y construir una elipse con longitud del arco 2PIr o al revés. Construir una elipse con ejes a,b y construir circunferencia con la misma longitud del arco. En ambos casos necesitamos longitud del arco de elipse. ¿Cómo es? Seguramente depende de los valores a y b? ¿Cómo se calcula ésta longitud? 

Cómo se calcula longitud de curvas en general si la curva está definida por función real y = f(x). Se puede deducir una manera bastante eficaz para ello pero exige uso de integrales:

Una de las fórmulas de elipse centrado en el origen es:

Podemos expresarlo como una función despejando la y:

obs: solo expresamos medio arco superior de elipse. Pero por simetría de la figura nos sirve para calcular longitudes.
Aplicamos la fórmula:

Podemos intentar simplificar lo máximo posible ésta fórmula pero sigue siendo integral muy compleja. De hecho ésta integral está clasificada desde hace muchísimo tiempo como una integral específica y solo tenemos aproximaciones de su valor. 

Entonces? Matemáticamente no podemos comparar dos figuras si para una figura solo tenemos valor aproximado? ¿Lo dejamos? Claro que no. Vamos a reformular la hipótesis y lo resolvemos. Además no vamos a utilizar la aproximación analítica, si no, una gráfica. Lo veamos mas adelante...