círculo o ovalo, donde cabe mas? parte 1: rectángulos

Trabajando en un concierto vendiendo cerveza hacíamos unas pequeñas trampas al llenar el baso plástico con la bebida. Para Llenarlo con menos cantidad a la hora de coger el baso lo aplastábamos un poco y de esta forma se reducía el volumen total. Un truco muy simple. 

Pero si lo piensas...

Al aplastar el vaso no cambia la superficie del cilindro ni tampoco longitud de circunferencia de la base. Estos valores son constantes. ¿Porque cambia el volumen?

Al parecer esto ocurre con todas las figuras al modificar su simetría. Caso mas simple es el cuadrado:

ejemplo1  cuadrado: 

Tenemos cuadrado de laso a, de perímetro 4a,  de area a^2

Tomamos rectángulo con el mismo perímetro pero con otros lados. Por ejemplo un lado b (< a) y otro lado mayor sería entonces c = 2a - b (> a)

Veamos como esta desigualdad afecta al area: b*c = b*(2a-b) = 2ab-bb < ab-bb/2 < ab < aa  = a^2
QED

Se puede hacerlo de otra manera? Por ejemplo definimos una función derivable que describe áreas de rectángulos y analizamos ésta función? Vamos a hacerlo en el siguiente ejemplo.