ANTIFÓRMULAS : ANÁLISIS (parte 2)

Curso alternativo de 2 de bachillerato "EL ANTIFÓRMULAS". Vamos a desarrollar resultados teóricos de este curso evitando lo máximo posible el uso de fórmulas. Es decir, obteniendo mismos resultados de forma gráfica, lógica o simplemente intuitiva.

Hoy vamos a deducir derivadas de operaciones básicas de funciones: suma, producto, división:

Suma: 

Con gráfica roja expresamos suma de dos funciones en f y g (verde y azul). Observa que variación de gráfica roja coincide con suma de variaciones de dos funciones en intervalo. Esta propiedad se hereda en límite. 

Esto es Df/dx + Dg/dx = D(f+g)/dx

Suele escribirse como (f+g)' = f' +g'

producto: 

Con el producto la solución no es tan obvia. Para empezar: ¿como expresar gráficamente el producto? Veámoslo. Si f(2) =3  y g(2) = 5 entonces f(2)*g(2) = 3*5 = 15. Es decir área de rectángulo cuyos lados están determinados por f y g. Así mismo definimos entonces producto de dos funciones en general.

Vamos a completar esta idea con cierto incremento de función f(x+rx) = f(x) + f(rx)

En rojo 

A = f(x)

el incremento desde A a dA expresamos con f(rx). 

Análogo para función g en verde. 

Si la derivada mide cambio de función entonces en esta gráfica el cambio de producto se expresa con los 3 rectángulos exteriores resultantes (coloreados)

Esto es:

D(fg(rx))/rx = f(x)g(rx)/rx + g(x)f(rx)/rx + f(rx)g(rx)

Simplemente calculando áreas de rectángulos. Haciendo límite se obtiene derivada del producto. Fijamos en 3 aspectos:

lim[rx->0] g(rx)/rx = g'(x)

 lim[rx->0] f(rx)/rx = f'(x)

lim[rx->0] f(rx)*g(rx) = 0 pues es una aproximación de orden 2 y tiende a cero despreciándose en límite total. (esto último es una idea intuitiva sin una prueba rigurosa)

finalmente tenemos: fg'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

división: 

Este caso vamos a resolver fácil, recordando que división es nada más que multiplicación por la inversa. Entonces podemos usar la propiedad anterior. 

esto es: