Curso alternativo de 2 de bachillerato "EL ANTIFÓRMULAS". Vamos a desarrollar resultados teóricos de este curso evitando lo máximo posible el uso de fórmulas. Es decir, obteniendo mismos resultados de forma gráfica, lógica o simplemente intuitiva.
Hoy vamos a deducir derivadas de operaciones básicas de funciones: suma, producto, división:
Suma:
Con gráfica roja expresamos suma de dos funciones en f y g (verde y azul). Observa que variación de gráfica roja coincide con suma de variaciones de dos funciones en intervalo. Esta propiedad se hereda en límite.
Esto es Df/dx + Dg/dx = D(f+g)/dx
Suele escribirse como (f+g)' = f' +g'
producto:
Con el producto la solución no es tan obvia. Para empezar: ¿como expresar gráficamente el producto? Veámoslo. Si f(2) =3 y g(2) = 5 entonces f(2)*g(2) = 3*5 = 15. Es decir área de rectángulo cuyos lados están determinados por f y g. Así mismo definimos entonces producto de dos funciones en general.
Vamos a completar esta idea con cierto incremento de función f(x+rx) = f(x) + f(rx)
En rojo
A = f(x)
el incremento desde A a dA expresamos con f(rx).
Análogo para función g en verde.
Si la derivada mide cambio de función entonces en esta gráfica el cambio de producto se expresa con los 3 rectángulos exteriores resultantes (coloreados)
Esto es:
D(fg(rx))/rx = f(x)g(rx)/rx + g(x)f(rx)/rx + f(rx)g(rx)
Simplemente calculando áreas de rectángulos. Haciendo límite se obtiene derivada del producto. Fijamos en 3 aspectos:
lim[rx->0] g(rx)/rx = g'(x)
lim[rx->0] f(rx)/rx = f'(x)
lim[rx->0] f(rx)*g(rx) = 0 pues es una aproximación de orden 2 y tiende a cero despreciándose en límite total. (esto último es una idea intuitiva sin una prueba rigurosa)
finalmente tenemos: fg'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
división:
Este caso vamos a resolver fácil, recordando que división es nada más que multiplicación por la inversa. Entonces podemos usar la propiedad anterior.
esto es:
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