ANTIFÓRMULAS : ANÁLISIS (parte 1)

Curso alternativo de 2 de bachillerato "EL ANTIFÓRMULAS". Vamos a desarrollar resultados teóricos de este curso evitando lo máximo posible el uso de fórmulas. Es decir, obteniendo mismos resultados de forma gráfica, lógica o simplemente intuitiva. 

Derivadas PARTE 1: definición:

Con derivadas medimos el comportamiento de una función en un punto. Para poder evaluar el crecimiento, decrecimiento, "potencialidad" de estos cambios de una función. 

Podemos ver como ha variado una función en un intervalo asociando una recta a extremos de este intervalo. El dato importante es la pendiente de esta recta ya que indica como de pronunciado ha sido este crecimiento o decrecimiento. La pendiente se puede calcular muy fácil en este caso simplemente dividiendo variación de y entre variación en x.

Podemos ir rediciendo este intervalo progresivamente y observamos que la pendiente puede variar. Si aplicamos el límite para reducir la longitud de este intervalo a un punto vamos a obtener una recta tangente en este punto con pendiente que indica comportamiento de nuestra función en este instante. 

El valor de esta pendiente (siempre cuando existe como valor real) lo llamamos derivada de función en este punto. 

Formalmente podemos definir derivada con límites:

Que es la proporción entre crecimiento de una función respecto intervalo donde se define pero haciendo límite a un punto. 

Podemos denotar esta derivada como f'(b) o bien como una fracción relativa 

Además de calculo del valor de derivada en un punto, podemos obtener una función derivada que aporta valor de derivada en cada punto donde está definida.

ejemplo 1: función constante y = 3 tiene valor constante para cada x. Es decir no cambia en todo R. Decir que no tiene cambio es decir que el valor de su derivada es NULO.

Esto es C'(x) = 0 donde C(x) es una constante.

ejemplo 2: una recta con pendiente no nula. y = 2x Para todo intervalo podemos observar que es creciente. Por cada valor dx crece 2dx 

Esto es (mx)' = m

ejemplo 3: un poco mas complicado. y = x^2 es una parábola. Pero gráficamente podemos deducir que no tiene crecimiento constante. Pero como varia?

Vamos usar un truco para ello. Usamos una propiedad muy especial de parábola. Y es que recta tangente tiene corta la parábola solo en un punto. Justo en punto de la tangencia. 

Esto es, el sistema de ecuaciones, donde y = mx+n es recta tangente en punto x

tiene solo una solución.

Vamos a resolverlo por igualación

x^2 = mx+n => x^2-mx-n= 0 es la ecuación de 2 grado. Aplicamos fórmula:

Si exigimos una única sol el radicando ha de ser nulo. Entonces la solución es de tipo x = m/2 

De aquí m = 2x. 

Ya tenemos pendiente de recta tangente que coincide con derivada de parábola en cada punto. 

esto es: (x^2)' = 2x