Discutir sistema de ecuaciones con parámetro SIN USAR R-F

Esta vez vamos a saltar por completo el algoritmo de triangulización pero explicar la parte teórica de resultados mejor.

 paso 1) pasar a matriz de coeficientes...

paso 2) aplicar algoritmo de triagulización...

paso 3) interpretación de los resultados

Fijamos en la última ecuación correspondiente a la incógnita z

(a-1)z = a^2 

como siempre empezamos cancelando el coeficiente de z (a-1=0 => a = 1)

caso 1) para toda z real si a = 1 =>  0 = 1!!! => no existe valor z tal que cumple la ecuación => SI

caso 2) si a != 1 (así escribimos si NO igual como se suele escribir en Python)

obs: en este caso z se despeja de forma única

z = a^2/(a-1) 

# ¿es suficiente para afirmar SCD? en principio esto determina un único valor para z pero la variable x o y puede quedarse indeterminada. Imaginen un vector (t,2,3) t cualquier número real. Aunque tiene fijados segunda y tercera coordenada pero la primera no está determinado. En este caso sería SCI. Veamos que ocurre con "y" en este caso. 

En la segunda fila tenemos que:

-ay + (a-2)z = 0

¡ojo! estamos en caso 2 con a!=1 y z toma un valor determinado z = a^2/(a-1) podemos simplemente sustituirla. -ay + (a-2)a^2/(a-1) = 0

seguimos con el mismo procedimiento anulando coeficiente de y (a = 0)

caso 2.1) a = 0 => 0y + 0 = 0 es una ecuación trivial y se cumple para cualquier y.

# esto quiere decir que la ecuación no aporta información y podemos quitarla por completo. El sistema se queda de la siguiente forma en este subcaso:

la y se despeja fácilmente de forma única

y = (a^2 - a^2/(a-1))/2 

pero la x se queda libre (variable no determinada) entonces el conjunto de soluciones toma valores

para todo a sol: (x, (a^2 - a^2/(a-1))/2 , a^2/(a-1) ) x valor real. Es decir hay infinitas soluciones. SCI

caso 2.2) a!=0

en este caso y se despeja de forma única: -ay + (a-2)a^2/(a-1) = 0 => 

y = ((a-2)a^2/(a-1))/a y toma un valor determinado. Es suficiente para afirmar que es un SCD? Vamos a ver que ocurre con la x

ax + 2y + z = a^2

teniendo en cuenta que en este caso y,z toman valores determinados es fácil de ver quu x se despeja de forma única. 

x = (a^2 - 2((a-2)a^2/(a-1))/a - a^2/(a-1) )/2 y es un valor determinado. Tenemos que en este caso SCD

SOLUCIÓN:

a = 1 => SI

a = 0 => SCI

a!=1, a!=0 SCD

¿Qué tal? Seguramente puede parecer mucho más complejo que resolviéndolo usando teorema de R-F entonces vamos a apuntar ventajas e inconvenientes de este método (teniendo en cuenta que ya sabes resolverlo usando con teorema R-F)

+ A FAVOR / -  EN CONTRA 

+ no es necesario conocer ni aplicar resultados difíciles de demostrar, protocolos demasiado complejos para recordar. Desde punto de vista científico no es muy ético obtener resultados basándose en algunas propiedades que no las tenemos muy bien identificadas. Todos los pasos que hemos utilizado caben en lógica simple y es suficiente tener una buena organización para aplicar el método. 

+ velocidad. Dependiendo del caso la velocidad de resolución puede reducirse notablemente. Observando bien algunas relaciones cancelamos incógnitas, filas completas etc. Resolviendo por R-F es obligatorio hacer todos los pasos y terminar todos los cálculos.

- no tiene algoritmo tan estricto como R-F. Tenemos que observar bien cada elemento, cada resultado de cada paso que hacemos para simplificarnos el trabajo y obtener subcasos correctamente. Incluso tenemos que usar imaginación y dependemos mas de si nos surge una idea brillante para avanzar.

- velocidad. Sí, dependiendo del caso podemos estancarnos ya que los procedimientos no son tan claros. 

+ Yo personalmente apoyo este método porque nos obliga a pensar, usar mas imaginación, usar lógica y en definitiva desarrolla pensamiento crítico. En cambio aplicación del teorema de R-F es mas bien un protocolo para máquinas.