Números primos en la naturaleza (parte 1) m.c.m

 

Varios insectos, entre ellos cigarras, tienen un ciclo de vida que dura un número primo de años. En este caso el ciclo de vida de cigarras dura 13 o 17 años. Mayor parte de tiempo estos bichos duermen bajo tierra pero al final salen al aire libre y es cuando se exponen al peligro por parte de otros animales. 

13 y 17 son dos números primos. La cuestión es ¿porqué se adaptaron de esta forma? La posible respuesta es que este modelo de ciclos primos supone el menor riesgo para sus vidas. Básicamente para no coincidir con los períodos activos de los depredadores. Ahora lo explicamos con detalles pero ya avisamos que se trata de hallar el mínimo común múltiplo.

Para introducir este concepto muchas veces nos proponen el típico ejercicio de los autobuses:

El autobús A pasa cada 15 minutos mientras el B pasa cada 18 minutos. Sí a las 12 de la mañana salen de la parada al mismo tiempo ¿cuando vuelven a coincidir?

Vamos a visualizar el problema. En un eje ponemos ciclos de los dos buses.

Como se observa en este período corto los buses no coinciden en el tiempo. ¿Y si más adelante coinciden? ¿En que momento? Como se trata de números enteros (ya que son los ciclos) en el futuro vamos a tener algunos valores m y n tales que m*15 = n*18. Y este valor es el múltiplo de los dos números. Además si nos interesa obtener el primer, es decir más pequeño múltiplo común lo vamos a llamar "el mínimo común múltiplo" o simplemente "mcm". 

¿Cómo lo hallamos? Para valores tan pequeños es mejor ir probando:

Escribimos algunos múltiplos de cada número en el orden creciente y veamos cuando coinciden por primera vez.

En este caso tenemos que 15*6 = 18*5 = 90. O sea mcm(15,18) = 90 y los buses van a coincidir en 90 minutos después de las 12. Esto es a la una y media de la tarde.

Hay un algoritmo para obtener mcm para números mas grandes. Primero factorizamos los números (es decir los ponemos como producto de factores primos)

15 = 3*5,
18 = 3*3*2 = 3^2*2

El mcm será el producto de factores comunes y no comunes elevados a mayor exponente: 2*3^2*5 = 90.

Porque funciona este algoritmo? Bueno, lo primero de observar que este número efectivamente es múltiplo de los dos ya que escogemos factores comunes y no comunes además elevados a mayor exponente. Y porque es el mínimo entre todos múltiplos? Pues hemos descartado las repeticiones de factores. En vez de tomar 3*2*3^2*5 dejamos solo 2*3^2*5.

Muchas veces cuando hacemos suma de fracciones buscamos el común denominador y aveces por pereza, simplemente lo que hacemos es multiplicar los denominadores. Así obtenemos múltiplo de los dos pero no es mínimo. Pues, para reducir este número se aplica la regla de mcm. 

¿Pero qué ocurre si uno de los números es primo? Por ejemplo si en vez de 18 tomamos un 17. Según esta regla no podemos extraer una parte de factores si no que tenemos que tomar el número tal cual

15 = 3*5
17 = 17

mcm(15,17) = 3*5*17 = 255
Observamos que aunque 18 < 17 el mcm es mucho mayor en este caso. Esto quiere decir que los buses van a tardar mucho más en coincidir de nuevo. Una propiedad muy mala para el transporte urbano pero muy buena para nuestras cigarras.

Con esta configuración, la probabilidad de que su ciclo activo (cuando se despierta y sale a la luz) coincide con el ciclo activo del depredador es mas pequeña y a lo largo de un tiempo van a coincidir mucho menos veces.

Podemos sacar más conclusiones:nPodemos indagar a partir de entonces quien son principales depredadores de cigarras sabiendo sus ciclos vitales. Pero todavía no sabemos porque este ciclo es de 13 o 17 años y no de 23 o 11 por ejemplo...