Cero. Un número especial

El cero. El número que describe la "nada". Actualmente lo conocemos como el neutro de suma en algunas estructuras como los números enteros, racionales, reales... Esto quiere decir que el cero sumándose a cualquier otro número no afecta al resultado. 

 a + 0 = a

Es un número especial por varios motivos:

La edad.

Es uno de los números más jóvenes. Los egipcios no utilizaban el símbolo de cero como tal pero usaban uno de sus Jeroglíficos: "nfr" cuyo otro significado es "el bello"

 

 En antigua Grecia tampoco se ha utilizado el cero tal como lo conocemos ahora. Para referirse a la "nada" simplemente se ha utilizado espacio vacío. 

En Europa hasta la edad media muy avanzada el cero no se consideraba un número si no que un mero concepto para describir situación de equilibrio entre las ganancias y la deuda (que son números negativos). Pero no se aceptaban operaciones con el cero. 

Se supone que los primeros en aceptar el cero fueron los matemáticos de India.

Su conjunto.

Todavía no nos ponemos de acuerdo si el cero pertenece a los números naturales o no. Para algunos los naturales describen tamaños de conjuntos. Por ejemplo 100 es el tamaño del conjunto con 100 elementos. El cero es el tamaño de conjunto vacío. Y no existen conjuntos con tamaños negativos. Sin embargo para otros el cero no pertenece a este conjunto porque "antes no estaba en él".

Propiedades. 

El cero no tiene mismas propiedades como otros números. Por ejemplo en la mayoría de estructuras no podemos dividir un número entre cero.

Pues, formalmente, dividir por un número es multiplicar por el número inverso de este valor 

a:b = a*(1/b)

A su vez el inverso de un número es tal que al múltiplicar dicho número da unidad como el resultado (neutro del producto)

b*(1/b) = 1

Entonces dividir entre cero es multiplicar por el inverso de cero. O sea, multiplicar por tal número m que verifica

0*m = 1

Pero sabemos que el cero multiplicado por cualquier número nos da cero (otra propiedad interesante del cero) Resulta entonces que el cero no tiene inverso y entonces no podemos dividir entre cero.

¿De verdad sabemos que el cero multiplicando por cualquier número da cero? Intuitivamente sí lo entendemos. Pues multiplicar a por cero es tomar a cero veces... Es decir no tomar nada de a. Pero vamos a demostrarlo con rigor usando definiciones. 

0*m = 0*m + 0 = 0*m + m + (-m) = 0*m + 1*m + (-m) = m*(0+1) + (-m) = m*1 + (-m) = m + (-m) = 0

Hemos aplicado propiedades del cero neutro para la suma, de 1 neutro para el producto y la propiedad distributiva.

Así como estas, hay varias propiedades interesantes del cero pero tampoco centramos en esto en el artículo.

Paradojas

 Debido a sus propiedades muy específicas y por desconocimiento de estas, pueden producirse varias paradojas falsas.

Uno de los ejemplos más populares es la falsa demostración de la siguiente proposición:

1 = 2

Obviamente es falso pero veamos el desarrollo:

Sea a = b => multiplicamos por b

a*b = b*b = b^2 => restando a a^2 la misma cantidad en ambols lados de la igualdad a^2 = a^2

a^2 - a*b = a^2 - b^2 => sacando factor común a y desarrollando cuadrados

a*(a-b) = (a+b)*(a-b) = > cancelamos (a-b)

a = a + b = a + a = 2a => cancelando a

1 = 2

Parece que hemos hecho operaciones simples, pero hay un fallo. Cuando cancelamos (a-b) lo que hacemos es dividimos ambas partes entre (a-b) pero no podemos hacer esta operación ya que a-b = 0 y no podemos dividir entre 0; O sea, esta demostración no es válida porque utiliza una operación incorrecta.

Incógnita 0^0

Parece que todo el mundo ya lo tiene claro que a elevado a cero es uno para todo real a distinto de cero?

Pero ¿y si a es cero? 0^0 no esta determinado. Los matemáticos de distintas ramas no se ponen de acuerdo. Para algunos este valor es 1 pero para los de análisis este puede ser cualquier número.