Número de Euler y todo, todo, todo (parte 2) Propiedades de Exp(x)

Hemos visto que r*Exp(xi) corresponde a un número imaginario de módulo r y el argumento x.
Hemos visto también que Exp(1) = e por definición.
Ahora vamos a ver algunas propiedades de Exp(x)
A partir de entonces denotamos Exp por E

1) Unicidad de la función E tal que verifica las dos condiciones:
a) E(0) = 1
b) E'(x) = E(x)
dem: Suponemos que no. Existe H con tales propiedades, entonces G = E - H verifica:
G'(x) = G(x) y G(0) = 0;
Además resulta que G''(x) = G'(x) = G(x) y en general derivada n-esima de G es la propia G.
Por ser Derivable es continua y entonces en un intervalo cerrado tiene máximo k.
Desarrollamos polinomio de Taylor.

Pero G(0) = 0 así como sus derivadas. Entonces queda:

Ahora tomando valor absoluto de la función y tomando límite cuando n tiende al infinito  obtenemos que tiende a cero. Luego G(x) = 0 para todo x. Luego E =H. De aquí si tenemos cualquier H con estas propiedades es igual a E.

2) E(x + y) = E(x)*E(y)
Dem:
lema: existe única función tal que f '(x) = f(x) y f(0) = 1;

Sea Gy(x) = E(x+y)/E(y) función de x (distinta para cada distinto y) se cumple que:

a) G'y(x) = E'(x+y)/E(y) = E(x+y)/E(x) (por la propia definición del E su derivada es igual a E) = Gy(x). Tenemos que G'y(x) = Gy(x).

b) Por otro lado Gy(0) = E(x)/E(x) = 1;
Usando estas dos propiedades y la propiedad 1 obtenemos que Gy(x) = E(x) Entonces E(x+y) = E(x)*E(y)

3) E(rx) = E(x)^r veamos para r naturales por inducción.

# E(1x) = E(x) = E'(x)
# Sopongamos cierto para n: E(nx) = E(x)^n
En tal caso E((n+1)x) = E(nx + x) = (por la propiedad 2) = E(nx)*E(x) = (por hipótesis inductiva) = E(x)^(n)E(x) = E(x)^(n+1)
Luego se verifica para todo n que E(nx) = E(x)^n

Éste último resultado se puede generalizar para r reales y se tiene que  E(rx) = E(x)^r
Como colorario E(x) = E(1x) = E(1)^x = e^(x) De aquí se deduce finalmente que nuestra función E es nada más que el número e elevado a x.Entonces va a heredar todas las propiedades de esta expresión y recordando la parte 1 de este artículo tenemos que 

e^(xi) = cos(x) + isen(x) expresa un número complejo de argumento x. Con ésta expresión podemos operar mucho más fácil dentro de los complejos.