Número de Euler y todo, todo, todo (parte 1) trigonometría y números complejos

Número de Euler o constante de Napier es un número irracional con valor aproximado 2,7. 

Su definición formal proviene de la función exponencial: Exp(x)

 Es una suma infinita pero converge a un número. Para el caso x = 1 converge aun número 2,718... y se denota por e.

Lo interesante de ésta función esque Exp'(x) = Exp(x) es decir igual a su derivada. Viendo la definición de arriba es fácil de probar ya que se trata de un polinomio. 

Obviamente la historia no se acaba aquí. Podemos ver su interpretación geométrica.
Sabemos tales funciones trigonométricas como sin(x), cos(x) que además toman valores sen(0) = 0, cos(0) = 1. Esto lo obtenemos básicamente por definición geométrica de estas funciones que relacionan lados de un triángulo rectángulo. Pero aquí viene la definición formal:

 

De forma semejante se define el coseno:

Se observa fácilmente que sin(0) = 0, cos(0) = 1 Además sin'(x) = cos(x) y cos'(x) = - sin(x)

¿Y porque ahora estamos repasando trigonometría si no tiene nada que ver en principio con nuestro número e? Pues resulta que Exp(xi) = cos(x) + i·sin(x) donde i es la unidad imaginaria de los números complejos. Bastante fácil verlo en primeros números evaluando Exp en xi y repasando sumatorios de coseno y seno en forma zigzag.

Mucho más interesante es ver interpretación geométrica en el plano complejo. Veamos circunferencia unidad del plano complejo.

Coordenadas del vector u son (g,f) y se expresa como g+if. Pero también se puede expresar como (cos(x), sin(x)) o cos(x) + i·sin(x) por la definición geométrica de estas funciones ya que la hipotenusa es de longitud 1. Pues 

cos(x) = g/mod(u) = g, sin(x) = f/mod(u) = f

Así que tenemos  

Exp(ix) = cos(x) + i·sin(x) 

expresa un número complejo de módulo 1, Pero se puede expresar cualquier número complejo multiplicando por un módulo diferente. 

r·Exp(ix) = r·(cos(x) + i·sin(x))