b) hallar el valor máximo de la función en este intervalo
Def: Una función f es continua en un punto a si se verifica:
Esta proposición equivale a tres resultados que se cumplen simultáneamente:
1) f está definida en a (es decir existe f(a) valor real si estamos trabajando en marco de los números reales)
2) existe el límite de la función en el punto a.
3) dicho límite coincide con el valor f(a)
Entonces, para probar que una función es continua en un intervalo tenemos que probar continuidad para cada punto del intervalo. Sin embargo en caso de las funciones definidas a trozos, como en nuestro caso, probar este resultado conlleva probar el límite por la izquierda y por la derecha ya que puede variar y entonces se suspende el límite en este punto y la continuidad.
También una definición informal de la continuidad puede ser siguiente: una función es continua en un puno si podemos trazar su gráfica sin tener que separar el lápiz del papel mientras la trazamos. Esta definición no es válida para los casos de funciones muy complejas obviamente. Sin embargo es la mejor manera de entender la continuidad y su definición formal. El límite en un punto nos permite acercarse al punto "tanto cuanto queramos" y esto concuerda con la idea principal de trazar la linea de una gráfica pasando por un punto.
A veces nos pueden preguntar por tipo de discontinuidad que puede darse. Y básicamente hay tres tipos:
1) evitable: existe el límite de f en a pero, o bien f no está definida en a o bien el límite no coincide con el valor f(a)
2) inevitable de salto finito: los dos límites laterales son finitos pero no coinciden.
3) inevitable de salto infinito: Uno o ambos de los límites son infinitos o no existen.
Pero aquí no se acaba la historia. Realmente la definición de la continuidad es diferente. Lo que pasa que se puede demostrar la equivalencia entre las dos definiciones. Vamos a ver la definición "auténtica" de la continuidad.
Esto, básicamente quiere decir que podemos aproximar dos puntos de la función (f(x) y f(c)) tanto cuanto queramos (para todo épsilon podemos encontrar puntos en el dominio de forma que imagen de f sobre estos puntos dista menos que epsilon)
Vamos a ver que la definición formal del límite
Formalmente la definición de esto es siguiente.
Como pueden observar la única diferencia con la continuidad es que solo escoge los puntos x distintos de c. pues 0 < /x- c/ Esta claro que esta definición implica la definición de la continuidad. Pues si x = c entonces f(x)- f(c) = 0 y es menor que cualquier épsilon positivo. Pero ¿porqué se diferencia en ese aspecto las dos definiciones y que significado tiene esto? Para esto hay que conocer el concepto de "punto de acumulación" pero esto ya es otro cuento.
Para hallar los máximos o los mínimos utilizamos las derivadas. Pues estos puntos críticos se dan en los valores x que anulan la derivada. Pero ¿porque?
teorema:
una función
Supón se tiene un máximo en x = c. Entonces existe un entorno (un intervalo) de c en I en el que se cumple que f(c) >= f(x). Entonces f(x) - f(c) =< 0. Tomoamos este entorno para los siguientes cálculos.
Por la definición de la derivada:
Podemos escoger en el entorno unos valores para construir sucesiones x(n) y y(n) de números que tienden a c tanto en la parte izquierda de c como en la parte derecha.
Por ejemplo si estamos en el intervalo [a,b] en el que tenemos punto c podemos construir sucesión
c + (b-c)/n
y esta sucesión tiende a c por la derecha. Pero realmente no nos interesa como son estas sucesiones. Lo que sí nos importa es el siguiente resultado:
Esto se verifica gracias al hecho de que x(n) e y(n) tienden al mismo número c. Pero en este intervalo se verifican siguientes resultados:
1) f(x(n)) - f(c) =< 0 por ser f(c) máximo y x(n) - c =< 0 si x(n) en la parte izquierda de c
2) f(y(n)) - f(c) =< 0 por ser f(c) máximo e y(n) - c >= 0 si x(n) en la parte derecha de c
Entonces se tiene que
QED
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