En este ejercicio en vez de probar la continuidad nos exigen determinar valor que debe tomar f para que sea continua. Para ello simplemente aplicamos definición de continuidad y ver bajo que condiciones se verifica.
En otro apartado nos preguntan por asíntota horizontal. Pero no nos preguntan por asíntota oblicua. ¿Porqué? Pues hay quién dice que "los dos tipos de asíntotas son incompatibles". Veamos que es mentira.
Primero vamos a ver en que se apoyan los que dicen que son incompatibles.
Un argumento es gráfico. Suponemos tenemos dos asíntotas.
Entonces ésta función por un lado se aproxima a una recta horizontal por otro lado a una recta oblicua. Pero con esta configuración tenemos que nuestra función tiene dos valores distintos para mismo punto. O sea f(x0) = A y f(x0) = B con A distinto de B. La función no está bien definida. No es una función directamente, si para el mismo valor da distintos valores.
Otro argumento es de unicidad de límites. Pues por un lado, tal como se ve en la imagen, un límite cuando x tiende al infinito tiende a un valor a, pero otro tiende a una recta ax+b que a su vez tiende al infinito. Y tenemos que el mismo límite tiende a a y a infinito. Falla entonces la unicidad del límite y se descarta esta posibilidad.
Porque entonces yo digo que es posible tener las dos asíntotas. Pues voy a poner un ejemplo de tal función. Voy a poner un ejemplo de una función que tiene las tres asíntotas. Vertical, horizontal y oblicua.
Asíntota vertical: En la segunda expresión el denominador se anula con x = -1 además por la parte derecha da lugar a menos infinito y por parte izquierda mas infinito.
Asíntota horizontal: cuando x tiende a menos infinito tenemos:
Asíntota oblicua: Hay varias formas para determinar si existe una asíntota oblicua. Primera forma es realizando división de polinomios:
Otra forma, más general, cuando nuestra función no es cociente de polinomios es siguiente:
Calculamos el limite siguiente.
Si nuestra f(x) en el infinito tiende a recta, o sea a una expresión mx + n entonces en el infinito
Entonces para obtener el término libre análogamente si en el infinito f(x) = mx+n entonces el límite
debe dar valor n.
Finalmente hemos obtenido valores de la recta que buscamos.
En nuestro caso se tiene que:
Luego, nuestra recta es 1·x - 1 = x - 1
Finalmente tenemos las tres asíntotas y podemos esbozar la gráfica.
La moraleja de toda esta historia. Los matemáticos y los científicos en general, no deben tener ninguna autoridad. Ni sus profesores, ni los libros ni los apuntes de los compañeros no son fuentes de verdad absoluta. La verdad se comprueba y se demuestra con razonamiento lógico.
En este caso tenemos una función que tiene las tres asíntotas. El criterio para descartar alguna asíntota debe ser mas estricto. Por ejemplo hay que determinar si estamos en el conjunto de funciones definidas a trozos o no, o si se refiere al límite en misma dirección (mas o menos infinito).
No hay comentarios:
Publicar un comentario